• 对一道数学竞赛试题的思考

     

      以下是2015年第26届“希望杯”全国数学邀请赛高二初试题,笔者仔细研读,根据已知条件、目标函数形式上的特点,从不同视角给出了解法,以达到发散思维,训练思维的目的.
    中国论文网 /9/view-6908446.htm
      题目 若正数a,b满足2a+b=1,则a2-2a+b2-b的最小值是    .
      视角1 换元法
      解法1 设2-2a=x,2-b=y,由a,b是正数知,x,y>1,易知
      a=2-x2,b=2-y,将上式代入2a+b=1,整理得x+y=3,即x3+y3=1.
      将a=2-x2,b=2-y代入a2-2a+b2-b得a2-2a+b2-b=1x+2y-32,
      1x+2y-32=(1x+2y)x3+y3-32=y3x+2x3y-12≥2y3x2x3y-12=223-12.
      当且仅当y3x=2x3y,即22-2a=2-b时等号成立,所以最小值为223-12.
      评析 换元法是高中数学解题中的一种重要方法,换元的方法多种多样,千差万别,目的是将复杂的问题简单化,将抽象的问题形象化、分式问题整式化,无理问题有理化,这需要我们具备较强的观察能力、逻辑思维能力、联想能力,本题中通过巧妙的换元,将其适当的化简,并利用均值不等式求得其最值.
      视角2 几何观点
      解法2 由2a+b=1知,a=1-b2,b=1-2a,所以a2-2a+b2-b=14b-1a-1+12ba+12,
      由a,b>0,2a+b=1,知a∈(0,12),b∈(0,1),易知b-1a-1∈(0,2),ba+12∈(0,2).
      令x=b-1a-1,y=ba+12,x,y∈(0,2),解得a=1-12yy-x+1,b=32y-12xyy-x+1,由2a+b=1,知23x+23y+xy=43,解得y=169x+23-23,x∈(0,2),对y求导数得y′=169(x+23)2,其原函数图象如图1所示,
      图1         图2
      此时a2-2a+b2-b=14x+12y,为此,本题转化为目标函数是Z=14x+12y的线性规划问题,由线性规划知识知,当目标函数与函数y=169x+23-23的图象相切时(如图2),目标函数有最小值.设切点为P(x0,y0),则切线斜率为y′=169(x+23)2x=x0,因目标函数
      Z=14x+12y的斜率为-12,所以y′=-169(x0+23)2=-12,解得x0=423-23,y0=223-23,即Z=14x+12y与曲线在点P(423-23,223-23)相切,所以Z=14x+12y有最小值Zmin=223-12.
      解法3 令x=a2-2a,y=b2-b,则a=2x1+2x,b=2y1+y,则4x1+2x+2y1+y=1,以下同解法2.
      图3
      评析 运用线性规划知识解决最值问题形象直观,同时也很好地体现了数形结合的思想,本解法中:如图3,设A(1,1),B(-05,0),P点在线段2a+b=1上,a,b>0上,因此,目标函数14b-1a-1+12ba+12转化为求14kAP+12kBP的最小值,如果直接求,较为困难,因此,需要将问题适当转化,即换元.
      本解法对于求解线性规划中目标函数为pk1+qk2(其中p,q为给定实数,k1,k2为斜率)这一类新题型提供了很好的思路,即换元,从而将目标函数转化为直线,问题便迎刃而解.
      视角3 函数思想
      解法4 由b=1-2a,a∈(0,12),知a2-2a+b2-b=2-5a+6a22+2a-4a2,令g(a)=2-5a+6a22+2a-4a2,
      则g′(a)=-2(7-20a+4a2)2+2a-4a22.
      当a∈(0,5-322)时,g′(a)<0,此时,g(a)单调递减,当a∈(5-322,12)时,g′(a)>0,此时,g(a)单调递增.所以gmin(5-322)=223-12.即a2-2a+b2-b的最小值为223-12.
      评析 利用函数单调性求最值是处理最值问题的常用方法,简单易于操作,本题中采用代入消元法将目标函数由二元化为一元,从而将问题转化为一元函数求最值.
      视角4 方程思想
      解法5 令a2-2a+b2-b=t,显然t>0,则2a+2b-3ab=t(2-2a)(2-b),将b=1-2a,a∈(0,12)代入上式得
      6+4ta2-(5+2t)a+2-2t=0,此式可以看成关于a的一元二次方程,则该方程有实根,从而Δ=(5+2t)2-4(6+4t)(2-2t)=36t2+36t-23≥0,解得t≥223-12,所以a2-2a+b2-b的最小值为223-12.
      评析 函数与方程思想是高中数学的重要思想方法,对于2次整式,或者一次分式求最值运用判别式法简单易于操作,应该要求每个学生必须掌握.
      视角5 “1”代替
      解法6 由2a+b=1,知2-2a+2-b=3,显然2-2a3+2-b3=1,所以
      12-2a+22-b=(12-2a+22-b)(2-2a3+2-b3)=1+2(2-2a)3(2-b)+(2-b)3(2-2a)≥1+223.
      所以a2-2a+b2-b=-32+12-2a+22-b≥223-12.
      评析 “1”在中学数学中有着重要的应用,sin2x+cos2x=1主要是方便对式子变形,而其他等于1的整式或分式主要是为使用均值不等式创造条件.本题充分利用结论(x+y)(px+qy)≥p+q+2pq来求得其最值.   视角6 从高观点角度分析
      解法7 (拉格朗日数乘法)构造拉格朗日函数L(a,b,λ)=a2-2a+b2-b-λ(2a+b-1),令La=12(1-a)2-2λ=0;
      Lb=2(2-b)2-λ=0;
      Lλ=-(2a+b-1)=0;
      联立上述三个方程解得a=5-322,b=32-4,λ=127-182.从而得
      a2-2a+b2-b=223-12,所以a2-2a+b2-b的最小值为223-12.
      评析 拉格朗日数乘法实际上是借助于求多元函数极值点求函数的最值,通常用来求限制条件下的最值问题,操作简单,也是通式通法,在竞赛解题中经常用到.
      视角7 数列观点
      解法8 由2a+b=1=212知,b,12,2a成等差数列,设其公差为d,则b=12-d,2a=12+d,a=14+d2,所以a2-2a+b2-b=12×1+2d3-2d+1-2d3+2d,整理得
      a2-2a+b2-b=-12+13×3+2d3-2d+23×3-2d3+2d≥223-12.所以a2-2a+b2-b的最小值为223-12.
      视角8 三角换元
      解法9 令2a=sinθ,b=cosθ,θ∈0,π2,代入a2-2a+b2-b,整理得
      a2-2a+b2-b
      =1-cos2θ2+2cos2θ+cos2θ2-cos2θ
      =-12+23×2-cos2θ2+2cos2θ+13×2+2cos2θ2-cos2θ
      ≥223-12.
      所以a2-2a+b2-b的最小值为223-12.
      评析 因为三角函数公式多,思路广以及三角函数本身的单调性、有界性,从而为求解函数的最值带来便利.本题通过三角换元,将二元问题一元化,进而利用均值不等式求解,同时本题也可以充分利用0≤cos2θ≤1,运用函数的单调性求解.
      视角9 方程组思想
      解法10 由2a+b=1知,a=1-b2,b=1-2a,所以a2-2a=12×1-b2-2a.
      设
      1-b=X(2-2a)+Y(2-b),则1-b=2X+2Y-X2a-(Y-1)b-b,由2a+b=1知X=Y-1,
      2X+2Y-X=1.
      解得X=-13,Y=23,所以1-b=-13(2-2a)+23(2-b),进而12×1-b2-2a=-16+13×2-b2-2a.
      同理可得1-2a2-b=-13+23×2-2a2-b,
      所以a2-2a+b2-b=-12+13×2-b2-2a+23×2-2a2-b≥223-12.
      视角10 柯西不等式|m||n|≥|mn|
      解法11 设m=(12-2a,22-b),n=(2-2a,2-b),由柯西不等式知1+2≤312-2a+22-b,由此可得12-2a+22-b≥3+223.
      所以a2-2a+b2-b=-32+12-2a+22-b≥223-12.
      追本溯源 笔者发现,若将a2-2a+b2-b变形得-32+12-2a+22-b,则该题是第23届“希望杯”全国数学邀请赛高一初试题的一道变式题,原题是:若正数a,b满足a+b=2,则1a+1+1b+1的最小值是    .由此,两道题就异曲同工了.同时,解法2对于求解线性规划中目标函数为pk1+qk2(其中p,q为给定实数,k1,k2为斜率)这一类新题型提供了很好的思路,即换元.
      数学解题历程是一项富有挑战性的过程,因为艰辛,所以难忘.一题多解,不仅可以丰富学生的解题视野,增强处理数学问题的能力,同时也可以进一步构建学生已有的知识体系.以上解法涉及函数、向量、三角函数、不等式、直线和双曲线、方程组等诸多知识,用到了构造、换元等重要方法,渗透了数形结合、函数与方程等核心思想.
      作者简介 李波,男,1991年7月生,中教一级.发表论文数篇.

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