• 初中数学竞赛中的整数对x,y问题

     

      初中数学竞赛中的整数对问题,不但涉及到因式分解和方程的有关知识,还要涉及到数论中的相关知识(如整除、奇偶性、质数、合数等),是各类数学竞赛中的热点问题。此类问题牵涉的知识面比较广、解法灵活、综合性强,因此,倍受关注。本文以近年来各级各类竞赛题中的整数对问题为例,介绍整数对问题的求解策略。
    中国论文网 /9/view-6741768.htm
      一、利用因式分解
      当已知方程的一边能化为两个一次式的积,另一边是一个整数时,通常用分解因式法解决问题。
      例1、(2011年全国初中数学联赛武汉市选拔赛试题)设质数、满足。则数据、、2、3的中位数是( )
      A 4 B 7 C 4或7 D 4.5或6.5
      解:由(、是质数),知=或或或。解得=(7,5)或(11,13)
      故2、3、5、7的中位数是4;2、3、11、13的中位数是7。
      例2、(2012年中等数学第6期数学奥林匹克初中训练题)满足的正整数对(,)有( )对。
      A 3 B 4 C 5 D 6
      解:∵,和的奇偶性相反,∴或(3,168)或(7,72)或(8,63)或(9,56)或(21,24)。解得:=(252,251)或(85,82)或(39,32)或(35,27)或(32,23)或(22,1)。故满足条件的正整数对(,)有6对。
      二、利用整数的奇偶性
      利用下面奇数和偶数的性质:两个连续整数中必有是一个奇数一个偶数;两个奇(偶)数的和是偶数,一个偶数与一个奇数的和是奇数;若、为整数,则有与有相同的奇偶性。
      例3、(2012年全国初中数学竞赛试题10B)已知是偶数,且。若有唯一的正整数对使得成立,则这样的的个数为 。
      解:由已知得,且为偶数,于是、同为偶数。所以,是4的倍数,设,则。
      (1)若时,可得,与是正整数矛盾。
      (2)若至少有两个不同的质因数,则至少有两个正整数对满足。
      若恰是一个质数的幂,且这个幂指数不小于3,则至少有两个正整数对满足。
      (3)若是质数,或恰是一个质数的幂,且这个幂指数为2,则有唯一的正整数对满足。因为有唯一的正整数对,所以,的可能值为2,3,4,5。7,9,11,13,17,19,23,25共12个。
      例4、(2011年新知杯上海市初中数学竞赛题)(1)证明:存在整数、满足。(2)问:是否存在整数、满足?证明你的结论。
      解:(1)=(43,1)满足。
      (2)答案是否的。若存在、满足,则。从而,是奇数,进而,是奇数,于是,、为一奇一偶,故是4的倍数。由于奇数的平方除以4余1,于是,等式左边除以4余1,而等式右边除以4余3。
      所以,不存在整数、满足。
      三、利用整除
      一个整数去除整数,有时恰好除尽,有时会有余数。在数学竞赛中,整数的整除或带余除法的问题是十分有趣的,利用整数的整除性来求解问题。
      例5、(2011年全国初中数学联赛试题)不定方程的正整数解(,)有( )组
      A 0 B 2 C 4 D 无穷多
      解:若方程有正整数解(,),注意到,完全平方数被4除余0或1,从而,为奇数,为偶数。令,代入得,,由于是偶数,是偶数,导出矛盾。所以,原方程无正整数解。
      例6、(2011年四川省初中数学联赛决赛初二试题)设有个正边形,且这个正多边形的内角度数的总和能够被8整除。求的最小值。
      解:由题意知,这个正多边形的内角度数的总和度数为。
      由8@可推得,2@,得2@。
      故、中至少有一个是偶数。又≥1,≥3,且均为整数。要使最小,则=(1,4)或(2,3)。从而,的最小值为5。
      例7、(2012年全国初中数学竞赛试题B)在平面直角坐标O中,满足不等式的整数点坐标(,)的个数为( )
      A 10 B 9 C 7 D 5
      四、利用一元二次方程判别式
      在一个二元二次方程中,若把其中一个未知数当作参数后,该方程为关于另一个未知数的一元二次方程,于是,可利用△≥0求出参数的取值范围,然后求解。
      例8、(2009年《数学周报》杯全国初中数学竞赛)关于、的方程的整数解有( )组。
      A 2 B 3 C 4 D 5
      五、利用一元二次方程韦达定理
      在一个含有字母参数的一元二次方程中,可利用一元二次方程中的韦达定理得出两个关于根与系数的等式,再根据题中的其它条件来求解问题。
      例9、(2005年"卡西欧杯"全国初中数学竞赛试题)已知p,q都是质数,且使得关于x的二次方程至少有一个正整数根,求所有的质数对(p,q).
      解:由方程的两根分别为、(),由根与系数的关系得:
      ①当时,即,因为均是质数,所以
      ②当时,即,所以,因为p、q都是质数,且,所以,解得符合条件的质数对:.
      ③当时,即,所以,,不存在满足条件的质数对.
      ④当,即,所以,,于是.
      综上所述,满足条件的质数对或
      六、利用另设参数
      通过另设参数,能使原式中的两个变量隐蔽的关系变得比较明朗,使参数成为解决问题的中介。
      例10、(2012年中等数学第3期数学奥林匹克初中训练题)满足的整数对(,)( )
      A 只有一对 B 恰有两对 C 至少有三对 D 不存在
      七、利用整数分离
      在某些含有分式的方程中,可先将分式进行整式分离,分离后再利用整除性来求解问题。
      例11、(2004年全国初中数学竞赛天津市试题)
      方程的整数解共有( )
      A 1 B 2 C 3 D 4
      练习题:
      1、(2005年全国初中数学竞赛广东卷试题)某校举行春季运动会时,由若干个同学组成一个8列的长方形队列。如果原队列中增加120人,就能组成一个正方形队列;如果减少120人,也能组成一个正方形队列。问原长方形队列有同学多少人。
      析解:原队列中增加120人或减少120人,都能组成一个正方形队列,所以总人数为完全平方数,因此可设原有人数为x人,增加120人后总人数为,减少120人后总人数为,则有,两方程相减后得:,
      因式分解得:,因为、同奇偶,且>>0
      2、(2007年全国初中数学联赛四川初赛)方程的所有不同的整数解共有 组.
      3、(2011年北京市初二数学竞赛)满足的整数对(,)的组数是( )
      A 0 B 1 C 2 D 3
      4、((2011年北京市初二数学竞赛)关于、的方程的正整数(,)共有 组。
      5、(2004年全国初中数学竞赛试题)已知a、b是实数,关于x、y的方程组 有整数解(x,y),求a,b满足的关系式。
      参考文献:
      范浙杨.初中数学竞赛中整数解问题的求解方法。中学数学研究,2006(12)

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