• 一道大学物理竞赛试题解析

     

      摘要:对一道有关质点运动规律的物理竞赛题目进行了解析,突出了物理量的矢量性和分量形式,强调了微积分方法在大学物理中的应用,旨在启发学生规范解题。
    中国论文网 /9/view-7887982.htm
      关键词:大学物理;竞赛试题;微积分
      中图分类号:G642.0 文献标志码:A 文章编号:1674-9324(2016)02-0180-02
      在2013年上海理工大学大学物理竞赛中,选取了一道试题,题意如下:已知空间同时存在均匀电场(电场强度为E),均匀磁场(磁感应强度为B)和的重力场(重力加速度为g),且三者方向相互垂直。一质量为m、带正电荷q的质点在此空间运动,保持速度的大小在运动过程中不变。(1)说明此质点作何种运动(无须求出运动的轨迹方程)。(2)若电场和磁场在某时刻突然同时消失,并且将此时(即电磁场刚要消失时)的动能称为初始动能,那么,已知该质点在此后的运动过程中的动能最小值为其初始动能的一半,试求在电磁场刚要消失时,质点速度在三个场方向的分量。
      当时提供的参考解答如下:
      (1)如图1所示,建立直角坐标Oxyz,其中电场方向沿着Ox轴,磁场方向沿着Oy轴,而Oz轴与重力方向相反。根据洛仑兹力公式 =q × [1]可知,磁场对质点的作用力垂直于磁场方向,位于Oxz平面内;另外,重力方向向下,电场力方向沿着x轴正向,因此在y轴方向质点不受力,由此可知质点沿y方向的分速度(包括大小和方向)不变;依题意,质点速度的大小在运动中是恒定的,故质点在Oxz平面内的分速度大小也一定是恒定不变的;其次,质点速度大小保持不变,意味着合力做功为零,而洛仑兹力对质点不做功,因此,电场力和重力对质点所做的功也为零,由此可推断质点在Oxz平面内的分速度垂直于电场力和重力的合力,而电场力和重力的合力的方向在运动中是不变的,故此分速度的方向保持不变。综上所述,质点速度的方向保持不变的,因此质点在给定的三个场中做匀速直线运动,其轨迹在Oxz平面内且垂直于电场力和重力的合力。
      (2)设电场和磁场都存在时质点速度大小为v0,题中所要求的速度在三个场方向的分量分别用v0x、v0y和v0z表示。根据问题(1)中的分析,质点作匀速直线运动,这意味着质点所受合力F等于0。将此合力也分解为三个分量Fx、Fy和Fz,则有
      F =qE-qv B=0,得v = (1)
      F =0,F =-mg+qv B=0,得v = ,v =v -v -v (2)
      电场和磁场同时消失后,则粒子仅在重力作用下做抛体运动,因此任意时刻t时质点速度为
      v =v ,v =v ,v =v -gt (3)
      显然,当v =0时,粒子的动能最小,为E = m
      (v +v ),依题意E = ( mv ),因此有v =2(v +
      v ),结合(1)和(2),得
      v = (4)
      该题也是第25届全国中学生奥林匹克物理竞赛预赛试题[2]。上述解答中,问题(1)是通过说明性的论证来说明质点做匀速直线运动的,比较适合高中学生。而作为大学物理竞赛题目,则应更突出学生对质点运动规范解题方法的应用和掌握,即从定义式和基本定理出发,突出物理量的矢量性和分量形式,突出微积分方法的应用,以利解决更复杂的问题。这也是大学物理教学中的重点和难点,因此,本文从这个角度,用解析的方式来解答这个问题,这对于学生用矢量和微积分方法规范解题不失为一个好的练习。
      根据图1所示的电场、磁场和重力场的方向假设,以及电场力和洛伦兹力公式,由牛顿第二定律,可列出质点动力学方程
      q ×B +qE -mg =m =m (5)
      在图1所示的直角坐标系下,分解为分量形式
      qE-qBv =m (6)
      m =0 (7)
      m =qBv -mg (8)
      由式(6)和(8)得
      m =-qB =-qB ,m =qB =qB ,
      整理得 + = , + =
      求解上述微分方程[3],可得
      v = +A cos( t+φ ),v = +A cos( t+φ ) (9)
      根据题意,质点速度大小保持不变,即v +v +v =常数,由式(7)可知v =常数,因此v +v =常数,根据式(9),必有A =A =0,即v = =常数,v = =常数。由于v ,v ,v 均为常数,所以质点作匀速直线运动。
      参考文献:
      [1]袁艳红.大学物理学(下)[M].北京:清华大学出版社,2010:80.
      [2]第25届全国中学生物理竞赛预赛试题及解答[J].物理教学,2008,30(12):34-40.
      [3]朱健民,李建平.高等数学(上)[M].北京:高等教育出版社,2007:423.

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