• 竞赛数学中的几种解题思维方法

     

      【摘 要】系统地讨论了竞赛数学的几种常用的解题理论、解题思维和方法。有助于解决竞赛数学中遇到的常见问题。具有一定的可操作性。
    中国论文网 /9/view-7727578.htm
      【关键词】构造法;反证法;数学归纳法;染色法;赋值法
      随着数学竞赛的发展,已逐步形成一个特殊的数学学科――竞赛数学。它涉及到数学竞赛的内容、思想和方法;也涉及到数学竞赛教育和数学课外教育的本质、方法、规律和途径问题。根据竞赛数学的题目特点,本文归纳出其中常见的几种解题思维方法。
      一、构造法
      解题通常在问题给定的系统里由题设推出结论。但对某些问题(例如存在性问题,条件与结论相距较远的问题等),直接推理有时不能顺利进行,因而不得不寻找某种中介工具沟通条件和结论的联系,这种通过构造题目本身所没有的解题工具,去实现解题的方法,就是构造法。
      例1: 证明 对于和为1的正数  不等式
      成立。
      证明: 设A是不等式的左边,构造
      说明B的构造受下式启发
      =
      下面求证:利用不等式即得
      二、反证法
      一个命题,当我们不易或无法直接证明时,就应当想到用反证法尝试。可以概括为:若肯定定理的假设而否定其结论,就会导出矛盾。
      例2:试证 (1)如果正整数n使方程x3-3xy3+y3=n有一组解(x,y)那么这个方程至少有三组整数解。
      (2)当n=2891时,上述方程无整数解。
      证明:(1)设(x0,y0)是方程的一个解,令x0=y0+y1,
      则(y0+y1)3-3(y0+y1)y02+y03=n化简后得(-y0)3-3(-y0)y12+y13=n。
      所以(x1,y1)=(-y0,x0-y0)也是方程的解,且(x1,y1)≠(x0,y0)。事实上 若x1=x0,y1=y0,则-y0=2y0,得y0=0,x0=0。代入原方程得n=0,这与n是自然数矛盾。
      再令,代入已知方程,化简后得。
      所以也是方程的一个解。类似上面局部反证,又证,,故方程有3组不同的解。
      (2)假设有整数,
      因为所以。
      这只有下列三种情形可行,,。
      根据(1)所证同时为方程的解,故后两种情况又归结为第一种情况,令代入已知方程有
      而2891≡2(mod9),方程两边对模9不同余,矛盾,故已知方程无整数解。
      三、数学归纳法
      数学归纳法是数学中最基本也是最重要的方法之一。它在数学各个分支都有广泛应用。其实质在于:将一个无法(或很难)穷尽验证的命题转化为证明两个普通命题:“p(1)真”和“若p(k)真,则p(k+1)真”,从而达到证明目的。
      例3:已知对任意,有,求证:。
      证明:(1)当时,由,命题成立。
      (2)假设当时,命题成立。即
      当因为
      又
      于是
      因为, 所以
      又因为,故
      解得 (舍去).
      所以时命题也成立。从而对,命题成立。
      四、染色法
      染色法,即是指根据问题的情境,把问题的对象适当地染上若干种颜色,从而把问题转化为染色问题而加以解决的一种解题思想方法。
      用染色法解题,其关键是根据问题的特点,选取恰当的染色方法对问题的对象进行染色,从而把问题转化为熟悉的或易于解决的问题。
      例4:有17位科学家,其中每一个人和其他所有的人通信。他们的通信中只讨论三个题目。求证:至少有三个科学家相互之间讨论同一个题目。
      证明:用平面上无三点共线的17个点分别表示17位科学家。17点间两两连线。两位科学家若讨论第一个题目,则把对应两点间连线染上红色,若讨论第二个题目,则把对应两点间连线染上黄色,若讨论第三个题目,则把对应两点间连线染上蓝色,于是只需证明这17个点为顶点的三角形中存在同色三角形。
      考虑以为端点的线段。由抽屉原则知,这16条线段中至少有6条同色,不妨设为红色,现考察连接的15条线段:若其中至少有一条红色线段(如),则同色三角形已出现(红色△);若没有红色线段,则这15条线段只有黄色和蓝色,所以一定存在同色三角形(黄色或蓝色三角形)。问题得证。
      五、赋值法
      对于某些数学竞赛问题,若能根据问题的具体情况,合理地、巧妙地对某些元素赋值,特别是赋予确定的特殊值(如+1或-1,0或1等),往往能使问题数值化、直观化、简单化,这就是赋值法。
      例5: 有男孩、女孩共n个围坐在一个圆周上(n≥3),若顺序相邻的3个人中恰有一个男孩的有a组,顺序相邻的3个人中恰有一个女孩的有b组,
      求证:3|a-b  。
      证明:将n个孩子依次赋值:
      ,
      ,则相邻三个值的和
      ,且。
      设取值为3的Ai有c个,取值为-3的Ai有d。依题意,取值为1的Ai有b个,取值为-1的Ai有a个,则
      故3|a-b  。
      参考文献:
      [1]陈传理.竞赛数学教程.北京:高等教育出版社,1996年第一版
      [2]张同君.竞赛数学解题研究.北京:高等教育出版社,2000年第一版
      作者简介:
      钱晓平(1979~),助教,研究方向:基础数学,2003 年毕业于南昌大学数学系,现任教于新余学院数学与计算机学院。

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