• 构造法在数学竞赛中的应用

     

      构造法是一种富有创造性的解题方法,他很好地体现了数学中发现、类比、化归的思想,也渗透着猜想、试验、探索、归纳、概括、特殊化等重要的数学方法,对培养多元化思维和创新精神,丰富我们的想象力,提高我们分析问题和解决问题的能力大有裨益。
    中国论文网 /9/view-7809618.htm
      那么,如何去构造呢?构造法的内涵相当丰富,他以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础,针对具体问题的特点而采用相应的解决办法。因此,在解题的过程中就要就学生思路开阔、观察细微、思维灵活、勇于创新,变抽象为具体、陌生为熟悉,使问题得到巧妙解决。
      一般来说用构造法解题有如下几个步骤:①观察、分析题目的条件和结论,有时要对条件和结论作适当变形。②联想熟悉的与已知条件或结论有关联的数学模式。③构造心得数学模式。④用构造出的数学模式沟通解题思路,解决原问题。
      常用于构造法的数学模式有函数、方程、恒等式、图形、配对式、不等式、中介媒体等,还有一些特殊的如反例、特例、等价命题等模式。其中尤以前四种应用最为广泛。下面我们就这几个方面选几例来说明。
      一、构造函数
      通过构造适当的函数模型,运用函数的性质来化解问题,可以解决许多不等式和代数式的求值问题。
      例1:(第七届美国奥赛试题)已知a、b、c、d、e是满足a+b+c+d+e=8, a2+b2+c2+d2+e2=16的实数,试确定e的最大值.
      分析:观察条件a+b+c+d+e=8, a2+b2+c2+d2+e2可以联想到:
      (x-a)2+(x-b)2=2x2-2(a+b)+a2+b2,因此可以构造函数y=(x-a)2+(x-b)2+(x-c)2+(x-d)2.
      二、构造方程
      构造方程,考虑应用韦达定理或其他方法构造出系数含有该变量的一元二次方程,然后用判别式证明:
      例2:(2007《数学周报》杯全国初中数学竞赛试题)实数a、b、c满足a≤b≤c,且ab+bc +ca=0,abc=1,求最大的实数k,使得不等式|a+b|≥k|c|恒成立。
      分析:由已知条件可得联想到一元二次方程。
      解:构造一元二次方程,有已知可知c>0,,解得,∴(当 时取等号)所以最大实数k=4.
      三、构造恒等式
      需要我们在平时的积累,在看到题目时能联想到熟悉的恒等式。
      例3:(1990年全国初中数学联赛试题)若方程(x-a)(x-8)-1=0有两个整数根,求a的值。
      分析:有已知可构造恒等式(x-x1)(x-x2)。
      四、构造图形
      即数形结合的方法,当求证的结论或条件有较明显的几何意义时,应用构造图形法,往往能够快捷地解决问题,同时也需要有对式子的敏感。
      例4:已知a、b、c>0,满足关系式,a2+b2=c2,求证:an+bn1)个整数(可以相同a1,a2,…,an满足a1+a2+…+an=a1a2…an=2007。求n的最小值。
      分析:条件中的a1,a2,…,an是无差别的,因此我们可以构造不等式a1+a2+a3≤a1+a1+a1,使a1,a2,a3 有差别。
      由以上例题可知,若从构造的方法来分析,有分析题设或结论的本身特征、找与题设或结论有必然联系的模式、联想与题设或结论有相似的结构模式、挖掘题设或结论的几何意义、将题设或结论与相关的命题进行类比构造等方法。这些方法从以上的例题中都能体现出来:①分析题设或结论的本身特征。有些题的题设或结论中隐含着问题的本质特征,需要结合其特征去构造。②找与题设或结论有必然联系的模式。对于有些关于自然数的不等式问题,与数列有着密切的联系,这时可构造有关数列模式,利用其单调性解决。③联想与题设或结论有相似的结构模式。这里用到比较多的有与韦达定理相似的结构、与判别式相似的结构。④将题设或结论与相关的命题进行类比构造。有些题目的条件中,我们会看到一些熟悉的味道,但却不一样的条件,这时要抓住这种熟悉来思考。
      从上述可以看出,优美、自然的构造法常常是建立在我们已有的知识基础之上的,它生成于认知结构的最顶端,不仅能使学生强烈地感受到数学的美妙以及构造法的神奇,而且能够使得学生激发起探索的意识和创新的欲望,如果能够恰当地运用构造法解题,可以突破思维的常规,使思路变得简洁、明快、精巧、灵活,可谓好处多多,因此在平时的教学或竞赛培训中,加强构造性思维的训练,对丰富学生的想象,培养学生的创造性思维能力,无疑是有十分重要的作用。
      参考文献:
      [1]张贵余.构造法解竞赛题[J].中学生数理化,2008.
      [2]谈跃年.灵活运用构造法解竞赛题[J].数理化学习,2008.

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