• 浅谈数学竞赛思维对解题直觉的培养

     

      摘要:数学直觉思维是重要的数学思维形式,从解题的角度探讨了培养数学直觉思维的方法,并在实际教学中进行了有益的探索。
    中国论文网 /9/view-63931.htm
      关键词:解题教学;数学;直觉思维;培养
      部分教育工作者认为数学竞赛是一种急功近利的行为,竞赛只是培养少数尖子学生,甚至有人认为竞赛与高考相对立,并不能培养学生的数学思维能力,做竞赛题花时间太多,影响高考成绩。本文从解题的角度探讨了培养数学直觉思维的方法,并在实际教学中进行了有益的探索。
      从多年的教学经验中笔者发现常常会遇见这样的情况,经常在黑板上刚把题目写完还没来得及解释题意,就立刻有学生说出了答案。这样的学生有的基础并不好,但却能凭直觉判断出结果,你问他为什么,他也回答不上个所以然,只是傻傻地摸摸脑袋说:“大概是这样的。”人们之所以认为数学难学,其实是因为数学最本质的特点是高度的抽象性,抽象和概括构成了数学的实质。因此,抽象概括能力构成了数学思维能力的第一要素,除此之外,还有推理能力、判断选择能力和探索能力。
      一、在数学竞赛中培养和提高学生的思维能力
      1.直觉思维能力的定义
      “直觉思维”简单来说,就是你看到一个人,马上就能看出他的基本特征:高矮、胖瘦、美丑、性格等等,这种“看”其实就是感觉,也是人的思维特征之一;伊恩斯图加特说:“直觉是真正的数学家赖以生存的东西。”许多重大的发现都基于直觉。例如:欧几里得几何学的五个公式都是基于直觉,从而建立起欧几里得几何学这栋辉煌的大厦。利用直觉思维解决数学问题,直觉思维不受固定的逻辑思维约束,对事物的敏锐洞察、本质理解和综合的判断,是一种直接的思维或认知。直觉思维没有严格的步骤和规则,可以突破常规定式,“跳跃”过某些思维阶段,直觉思维是创造性思维的重要组成部分。1910年魏格纳在查阅地图时发现格陵兰岛附近一个小岛的位置46年间相差了四分之一英里,他马上意识到这不是误差造成的,而是大陆漂移形成的,这就是大陆漂移说理论的最初产生。
      2.直觉思维能力的特点
      笔者认为直觉思维具有自由性、灵活性、自发性、偶然性、不可靠性等特点,从培养直觉思维的必要性来看,笔者总结了以下三个主要特点:
      (1)创造性是一种发散性思维。在数学教学过程中,教师通常按照教材固有的知识,按照单向思维方式从题目的条件和结论出发联想到已知的公理、定理、公式,从某一方向思考问题,采用某一方法解决问题,应该说这种方式是解决问题的基本方法,但长久以来按这样的方式思考问题会形成思维定式,严重制约同学们的创造性思维.因此同学们在数学学习中要逐步养成用发散性思维去思考问题,经常运用一题多解、一题多变等方法去解题。
      (2)简约性是思维对象从整体上思考调动自己的全部知识,做出快速而大胆的假设和判断,它省去了繁琐的中间环节,利用跳跃的方式使思维擦出火花,是思考者的灵感和顿悟。
      (3)自信力:学生对数学产生兴趣的原因一般有两种,一种是数学本身的魅力,一种是教师的人格魅力,但兴趣更多来自于数学本身。成功可以培养一个人的自信,直觉发现伴随着很强的自信心。相比物质的奖励或情感激励,这种自信更稳定、更持久。现在的中学生极少具有直觉意识,对有限的直觉也半信半疑,不能从整体上驾驭问题,所以也就无法形成自信。以下面两道竞赛题为例:
      
      例2.已知a、b、c是三个互不相等的实数,且关于x的两个方程ax2+bx+c=0、bx2+cx+a=0恰有一个公共根,那么抛物线y=cx2-ax+b必过定点 .
      分析:这是2007年全国初中数学竞赛改编题。观察两个已知方程,凭直觉思维x =1就是其公共根,所以抛物线必过定点(-1,0)。
      其实当人们解一道数学题时,往往要对结果或解题方法先作大概的估计(估量)或猜测,这就是一种直觉(思维)。在解决抽象的数学问题时,要时刻注意利用直觉思维解题,以培养自己把抽象转化为具体(形象)的能力。
      3.培养学生的直觉思维能力
      学习数学的关键是先学会审题和分析,在教学过程中将数学材料中反映的数和形的关系从具体的材料中抽象出来,做好抽象概括的示范工作,要特别注意重视“分析”和“综合”的教学。
      在解题教学中要注意发掘隐藏在各种特殊细节后面的普遍性,找出其内在本质,善于抓住主要的、基本的东西,教会学生善于运用直觉抽象和上升型概括的方法。
      培养学生学会总结概括的习惯,激发学生概括的欲望,当遇到一类新题时,经常把这种类型的问题一般化,找出其本质。
      培养学生的抽象概括能力是一项长期而艰苦的工作,要随时注意培养,有意识地根据不同情况严格训练和要求,逐步深入,提高要求。
      二、在竞赛数学教学中培养和提高学生的探索能力
      普通的数学教学一般都是讲数学中的典型范例,例如在“数列”这一章,我们的教育者一般只讲两种典型的数列:等比数列、等差数列,而在竞赛教学中我们要研究一些“非典型”问题,比如同样在“数列”部分,我们就要研究递推数列、高阶等差求和等问题。在研究“非典型”问题的过程中,我们培养、提高了学生的数学思维能力。
      数学探索能力是在抽象概括能力、推理能力、选择判断能力基础上发展的创造性思维能力,探索的过程其实是一个不断提出设想、验证设想、推翻设想、修正和发展设想的过程。在数学中,它表现在提出数学问题、探求数学结论、探索解题途径、寻找解题规律等一系列有意义的发现活动之中,而数学探索能力就集中地表现为提出设想和进行转换的本领。从具体的探索方法上给予学生指导,在探索过程中要应用各种思维方式方法,如分析、归纳、联想等,要重点给学生介绍逻辑的探索方法,鼓励学生勇于探索,善于探索,善于发现的精神,提出独立见解。
      总之,数学竞赛教学与思维息息相关,数学能力具有和一般能力不同的特性。因此,发展数学思维能力是竞赛数学教学的主要任务,是我们在发展学生数学思维能力的努力中,不仅要考虑到能力的一般要求,还要更深入研究数学科学、数学活动和数学思维的特点,寻求数学的规律,培养学生的数学思维能力。
      参考文献:
      [1]唐瑞芬.数学教学理论选讲.
      [2]燕国材.素质教育论.江苏教育出版社.
      (作者单位 江苏省苏州市吴中区长桥中学)


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