• 由“将军饮马”引申的竞赛题简析

     

      相传,古希腊亚历山大里亚城有一位久负盛名的学者,名叫海伦。有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题:从图1中的A地出发,到笔直的河岸边去饮马,然后再去B地,走什么样的路线最短呢?
    中国论文网 /9/view-9931672.htm
      精通数学、物理的海伦稍加思索,便回答了这个问题。这个问题后来被称为“将军饮马”问题。其解法如下:
      (1) 作出A点关于河岸的对称点A';
      (2) 连接A'B,交河岸于C,C点即为所求的点。即:从A地到C处饮马,再从C处去B地,所走的总路程最短。
      证明略。
      这一流传近2 000年的名题,仍有良好的教育功能,至今还被命题者所喜爱,并通过改编和引申编出许多竞赛题,这些题目都是有关线路最短问题,其解题的基本思路是利用两点之间线段最短。
      
      一、 把A,B位置放在河的两岸,引申成建桥问题。
      
      例1如图2,某工厂A在河的对岸有一分厂B,为了便利A,B间的往来,要在河上造一座桥。为了使A,B之间路程为最短,问桥应造在什么地方?在图上(假设河两岸MN与PQ平行,A,B连线与MN不垂直)作出桥的位置,写出作法,并加以证明。(1990年绍兴市初二数学竞赛题)。
      作法:(1) 自A作NM的垂线,并取AA'等于河宽(即两平行线间的距离)。
      (2) 连接A'B交PQ于D。
      (3) 过D作CD⊥PQ交MN于C。
      (4) 折线ACDB是自A到B的最短路程,CD是架桥位置。
      
      二、 把A、B位置放在两河的对岸,引申为建两桥问题
      
      例2如图3所示,A,B两个村之间有两条平行的河(一河宽为a,另一河宽为b),从A至B经过两座垂直于河岸的桥,要使路途最近,请你设计修桥地点,并说明根据。(1986年宿州市初中数学竞赛题)。
      解:设河岸分别为l1,l2,l3,l4(如图4)。
      (1) 过A作AA1⊥l1,使AA1=a,过B作BB1⊥l4,使BB1=b。
      (2) 连接A1B1,分别交l2,l3于M,N,则M,N便是修桥地点。设垂直于河岸的桥分别为MM1,NN1,则从A到B可沿折线AM1MNN1B行走,折线为A到B的最短路线。
      证明:若另选修桥地点,设在M',N'处。所修垂直于河岸的桥是M'M2 ,N'N2,则从A到B须经折线AM2M'N'N2B。连接A1M'、B1N',显然A1M'=AM2,B1N'=BN2,因此,折线AM2M'N'N2B=折线AA1M'N'B1B。而折线AM1MNN1B=折线AA1MNB1B,又折线A1M'N'B1>线段A1B1,故折线AM2M'N'N2B>折线AM1MNN1B。
      即折线AM1 MNN1B为从A经过两座垂直于河岸的桥到达B点的最短路线。
      
      三、 把背景放在两河之间,编成新题
      
      还有引申到长方体、圆柱、圆台、圆锥等立体上的蚂蚁爬行路线最短问题,限于篇幅,不再一一细说。
      (临海市第六中学)
      
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