• 简证女子竞赛题及推广

     

      解数学题更多地应强调以最基本的理论和最基础的方法为主,这就是我们学习初等数学的宗旨.
    中国论文网 /9/view-9294878.htm
      2009年女子数学奥林匹克第5题:设实数x,y,z大于或等于1,求证:(x2-2x+2)(y2-2y+2)(z2-2z+2)≤(xyz)2-2xyz+2.
      文[1]的证法有新意,但未必简单,类似这样的做法很多,本题应该说太有规律了,如果题目改为n个变量,大家很快就会想到数学归纳法,三个变量的时候就为什么没人去想想数学归纳法?下面用数学归纳法将其推广,并给出它的统一证明.
      设实数ai≥1,i=1,2,…,n,求证:Аni=1(a2i-2ai+2)≤Аni=1ai2-2Аni=1ai+2.
      证明 当n=2时,即证(a21-2a1+2)(a22-2a2+2)≤(a1a2)2-2a1a2+2.
      展开整理,易得(a1-1)(a2-1)(a1+a2-1)≥0,命题显然成立.
      假设当n=k时,命题成立,即
      Аki=1(a2i-2ai+2)≤Аki=1ai2-2Аki=1ai+2.
      ∵ai≥1,故a2k+1-2ak+1+2≥1,
      ∴由假设出发(a2k+1-2ak+1+2)Аki=1(a2i-2ai+2)=おАk+1i=1(a2i-2ai+2)≤(a2k+1-2ak+1+2)•Аki=1ai2-2∏ki=1ai+2А塥Аk+1i=1ai2-2Аk+1i=1ai+2(当n=2时命题成立),
      ∴当n=k+1时,命题也成立,因此命题对一切自然数都成立;
      当n=3时,即本题,这样一举两得又把命题推广了.
      【参考文献】
      [1]李歆.一道女子竞赛题的简证及其推广.数学通讯,2010(4).
      注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
      

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