• “定义新运算”型竞赛题点击

     

      “定义新运算”是一种创新运算,它是在一类数中给出一种新的运算法则,通过已知普通的加、减、乘、除和乘方运算来定义的.由于“定义新运算”型问题构思精巧,新颖灵活,综合性强,有利于考查基本素质和能力.所以,这类试题在全国各地各类初中数学竞赛中常有出现,下面举例介绍常见的几种类型,供读者学习参考.
    中国论文网 /9/view-9293468.htm
      类型一有关运算律的问题
      例1(2010届广东省初中数学竞赛初赛题)定义运算符号“*”的意义为:a*b=a+bab(其中a、b均不为0).下面有两个结论:(1)运算“*”满足交换律;(2)运算“*”满足结合律.其中().
      A.只有(1)正确B.只有(2)正确
      C.(1)和(2)都正确D.(1)和(2)都不正确
      解由a*b=a+bab=1a+1b=1b+1a=b*a可知,运算“*”满足交换律.
      而a*(b+c)=1a+1b+c,a*b+a*c=1a+1b+1a+1c,由a的任意性可知,运算“*”不满足结合律.故选A.
      类型二有关求值的问题
      例2(2011年《数学周报》杯全国初中数学竞赛题)对于任意实数a,b,c,d,定义有序实数对(a,b)与(c,d)之间的运算“”为:(a,b)(c,d)=(ac+bd,ad+bc).
      若对于任意实数u、v,都有(u,v)(x,y)=(u,v),则(x,y)为().
      A.(0,1)B.(1,0)
      C.(-1,0)D.(0,-1)
      解依定义的运算法则,有
      ux+vy=u,
      vx+uy=v.得u(x-1)+vy=0,
      v(x-1)+uy=0.
      对任意实数u、v都成立.
      由实数u、v的任意性,得(x,y)=(1,0).故选B.
      例3(2005年湖州市“期望杯”数学竞赛初三试题)设x*y定义为x*y=(x+1)(y+1),x*2定义为x*2=x*x,则多项式3*(x*2)-2*x+1,当x=2时的值为.
      解由题设的定义,得x*2=x*x=(x+1)(x+1)=(x+1)2,则
      [3*(x*2)]-2*x+1=[3*(x+1)2]-2*x+1
      =(3+1)[(x+1)2+1]-(2+1)(x+1)+1
      =4x2+5x+6.
      当x=2时,原式=4×22+5×2+6=32.
      例4(第19届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试题)Foreach pair of real numbers a≠b ,define the operation ★ as (a★b)=a+ba-b,then the value of((1★2)★3)is().
      A.-23B.-15C.0D.12
      (英汉小词典:each pair每对;real numbers实数;define定义;operation运算;value值)
      解由题设,有(1★2)=1+21-2=-3,
      所以((1★2)★3)=-3+3-3-3=0.
      故选C.
      类型三有关解方程的问题
      例5(第17届“希望杯”全国数学邀请赛初二试题)对实数a,b,定义运算“*”如下:a*b=a2b,当a≥b时,
      ab2,当a0或a

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