• 一道竞赛题的解题思路

     

      题目:已知 (b-c)2 = (a-b)(c-a)(a≠0),求的值。(1999年全国数学竞赛试题)
    中国论文网 /9/view-9330734.htm
      最初看到此题,感到很难入手,但仔细观察、勤思善想,就会发掘丰富的内涵,有助于培养思维的广泛性、深刻性,有利于提高数学思维品质。本文给出竞赛题的解题思路,以飨读者。
      思路1:从条件出发,直接推导(b+c)=2a。
      解法1:由(b-c)2 =(a-b)(c-a) 得 b2+2bc+c2+4a2-4ab-4ac=0,所以 (b+c-2a)2=0,即b+c=2a
      ∵a≠0∴ =2
      思路2:由条件结构联想一元二次方程的判别式,从而构造出一元二次方程,然后由根与系数的关系求解。
      解法2:⑴当a=b=c≠0时,显然有=2;
      ⑵当a≠b≠c时,由(b-c)2 =(a-b)(c-a)得
      (b-c)2 -4(a-b)(c-a)=0,构造一元二次方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0……①
      ∵(b-c)2-4(a-b)(c-a)=0,(a-b)+(b- c)+(c-a)=0
      ∴方程①有根x1=x2=1,由根与系数关系有=2(或=1)即b+c=2a
      ∵a≠0 ∴=2
      思路3:由条件联想到二元均值定理:a、bR+,ab≤()2,当且仅当 a=b时,取“=”号。由取“=”条件可得:b+c=2a。
      解法3:⑴当a=b=c≠0 时,显然有=2;
      ⑵当a≠b≠c时,不妨设c>a>b,则c-a>0,a-b>0
      所以(a-b)(c -a)≤()2=(b- c)2 ……②
      当且仅当a-b=c-a时,②式取“=”号,即满足条件
      由a-b=c-a得b+c=2a
      ∵a≠0 ∴=2
      思路4:将条件变形为(b+c)2+4a2=4ab+4ac。由此联想a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取“=”号,从而求得b+c=2a。
      解法4:由(b- c)2 =(a-b)(c-a)得(b+ c)2+4a2=4ab+4ac
      而(b+c)2+4a2 ≥2(b+c)+2a=4ab+4ac……③
      当且仅当b+c=2a时,③式取“=”号,即满足条件
      ∵a≠0∴=2
      思路5:由条件联想等比中项,由等比数列知识,求得b+c=2a。
      解法5:⑴当a=b=c≠0 时,显然有=2;
      ⑵当a≠b≠c时,由(b- c)2 =(a-b)(c-a)得
      (b-c)2 =4(a-b)(c-a)
      ∴2(a-b),b-c,2(c-a)成等比数列
      即b-c=k2(a-b)……①,=k……②
      ∴ 将①代入②,得
      (k+1)2=0
      ∴k=-1
      即b-c=-2(a-b)或=-1
      ∴b+c=2a
      ∵a≠0∴=2
      思路6:巧妙换元,将条件转化为(x-y)2=0,即x=y,求得b+c=2a。
      解法6:设b=u-v,c=u+v,代入条件得:
      4v2-4(u+v-a)(a-u+v)=0
      即(u-a)2=0
      ∴u =a,故 b+c=2a
      ∵a≠0∴=2
      由此可见,勤思善想、从多侧面进行探究、多层次地进行思考,拓宽了解题思路,深化了数学思维,培养了发散思维及创造精神,更增强了解题能力。
      (作者单:810003青海省西宁市第四高级中学)
      
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