• 一道竞赛题的改进与拓展

     

      原题:已知函数f(x)的定义域为x>0,且满足下列条件:①在(0,+∞)上单调递减;②f(x)>1x;③f(x)ff(x)+1x=1。求f(x)的表达式。
    中国论文网 /9/view-9543066.htm
      ソ猓荷f(x)=t,t>1x>0则,tft+1x=1,∴ft+1x=1t
      ヒt+1x代入③中的x,t+1x>0
      ピft+1xfft+1x+1t+1x=1,即1tf1t+xxt+1=1
      ウf(x)在(0,+∞)单调∴1t+xtx+1=x,从而xt+1+xt=xt(xt+1)
      ァx2t2-xt-1=0得t=x±x2+4x22x2
      ァt1=1+52x,t2=1-52x<0(舍去)∴f(x)=1+52x
      ブ链耍我们不难发现,题中有两个条件嫌强,即①“单调减”其实只要单调即可;②“f(x)>1x”也只要f(x)>0即可。
      ビ谑牵笔者重新编制以下问题:
      ノ侍1:已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)>0,且满足以下条件:①在(0,+∞)上单调;②f(x)f[f(x)]=1。求f(x)的表达式。
      ソ猓毫f(x)=t(t>0),则tf(t)=1,∴f(t)=1t1t>0
      ヒt代原式中的x,得:f(t)f1t=1,f1t=t=f(x)
      ウê数在(0,+∞)上单调∴1t=x即t=1x∴f(x)=1x
      ノ侍2:如果将第②条件换成下式:f(x)ff(x)+2x=1,则得到f(x)=2x
      ジ为一般的情况,问题3:将条件换成设f(x)ff(x)+mx=1,(m为非负常数),解答为:设f(x)=t(t>0),则tft+mx=1,∴ft+mx=1t
      ヒt+mx(显然t+mx>0)代入原式中的x,ft+mxf1t+mt+mx=1
      ビ谑牵f1t+mxxt+m=1ft+mx=t=f(x)由于函数f(x)在(0,+∞)上单调,
      ァ1t+mxxt+m=xx2t2-xt-m=0t=x±x2+4mx22x2=1±1+4m2x
      ウt>0,∴t=1-1+4m2x<0舍去∴t=1+1+4m2x
      ゼf(x)=1+1+4m2x,我想这就是本题目构题的密码。
      コ鲇诤闷妫我们能否随心所欲地构造某种条件,使得原函数为f(x)=nx(n∈N*),事实上,这也不难实现。以下,换一个角度来看:
      ト粼函数为f(x)=nx,(n∈N*)则有nxfnx+mx=1
      ゼnxnnx+mx=1,∴n2=m+n,即m=n2-n令n=1,2,3,4,5,Λ
      ピm=0,2,6,12,20,Λ
      ダ如欲使原函数为f(x)=5x,只要条件为f(x)ff(x)+20x=1即可。
      フ饩褪俏颐窍胍的“漂亮”的结果。

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