• 浅析导数在物理竞赛中的运用

     

      导数的数学实质就是变化率,而高中物理中有许多重要的物理物理量的物理意义就是指某种量的变化率。例如速度表示位移随时间的变化率;加速度表示速度随时间的变化率;感应电动势表示磁通量随时间的变化率;甚至力也可以表示为物体动量随时间的变化率;电场强度可理解为电势差随空间位置的变化率等等。
    中国论文网 /9/view-9502879.htm
      高中物理竞赛从知识的范畴来说并没有超出高中物理教材所涉及的内容,但就解答物理问题的思路及手段上来说却表现出了相当高的要求,特别是数学工具的应用以及对物理概念规律的理解上更是必须达到融汇贯通的境界。
      本文仅以我在平时解答学生关于物理竞赛题时所涉及的相关问题为例简要说说导数在物理中的应用。
      一、导数在运动学、动力学中的运用
      例1、一个质量为m=2kg的物体在水平拉力F的作用下沿光滑水平面做直线运动,其位移S与时间t的函数关系为S=2+t3。求:2秒末的拉力?
      解析:根据V(t)=S’(t)=3t2
      a(t)=V’(t)=6t
      当t=2s时,a=12m/s2
      由F=ma=2×12(N) =24N
      显然,如果对速度、加速度的物理意义没有深刻的认识到其物理意义实质是表示一种变化率,同时对导数没有透彻的理解,或者两个学科之间没有达到融会贯通的话,此题就无从下手了。
      例2、已知一个做简谐运动的质点其位移x随时间的变化规律为x=5sin(2 t),求:速度V与时间t的函数关系?
      解:V(t)=x’(t) =(5sin2 t)’ =10 cos2 t
      如果不利用导数的手段来解决这个问题,也能找到其它方法――简谐运动可视为以匀速圆周运动在直径上的投影,如图,设圆周运动的半径为R,角速度为w,从图示中的B点开
      始计时,则:
      
       V= R......(1)
       = t.......(2)
       V2=Vcos.......(3)
      由上面3式得V1= Rcos( t)
      可见,两种方法均可得出简谐振动的位移和速度都随时间按正、余弦规律变化。但充分利用导数这一数学手段既能使问题大大得到简化,又能使物理问题的解答思路更开阔。
      二、导数在电磁感应中的应用
      速度表示位移的变化率,加速度表示速度的变化率。利用导数可以轻松解决一些高中学生看似不会解决的问题。同样,在电磁感应现象中,法拉第电磁感应定律告诉我们E=N△ /△t,可见,感应电动势其实质就是穿过回路的磁通量的变化率,因此利用导数可以加深和拓展对这一规律的理解。
      例3、如图,电阻为r的导体棒垂直跨放在光滑的相距为L的水平导轨MN和PQ上,导轨左端接有阻值为R的电阻,导轨电阻不计,用一水平外力使导体棒向右以速度V匀速运动,计时开始时,回路面积为S0,磁场竖直向下,并按规律B=B0+kt变化。
      求:回路感应电动势e?
      解析:大多数学生和老师都会按以下思路解答这道题:
      因为导体棒运动而产生的电动势e1=(B0+kt)LV
      因为穿过回路的磁通量发生变化而产生的感应电动势为
      e2=S△B/△t=k(S0+LVt)
      由于两个电动势方向相同,故总的电动势为
      e= e1+ e2= B0LV+ kS0+2 kLVt
      但对这一结论却拿不准,因为两种电动势是同时产生的,它们之间是否真的是这种简单的叠加关系,两者之间是相互独立的或是相互制约的呢?因为找不到有力的依据和严密的推理,所以显得没有说服力,甚至自己也产生了怀疑。
      下面我们用导数来解决此题:
      任意时刻的磁感应强度:B=B0+kt
      任意对应时刻的回路的面积:S=S0+LVt
      任意时刻穿过回路的磁通量为:
       = (B0+kt)(S0+LVt)
      = B0 S0+ (B0LV+k S0)t+kLvt2
      所以 e=’(t)=B0LV+k S0+2kLv
      显然,这种解法的物理依据是最原始最基础的法拉第电磁感应定律,推理和运算过程符合严密的数学逻辑。对结论也不再有丝毫的怀疑。可见,借助导数还能帮助我们加深对物理规律的理解,同时还可以检验平时我们吃不准的某些解题方法的正确性。
       事实上,凡是涉及变化率的物理量均可借助导数来处理,从而寻到对应物理量的瞬时值。本文所举各例简要说明了导数手段在解答物理问题中的以下作用:拓展了解答物理问题的领域;增强了解答物理问题的手段;解决了其它方法存在的疑虑;加深了对物理规律的理解;突出了数学基础工具学科的实际运用。同时,本文还表达了以下教育学的观点:由于受认识规律以及数学手段的限制,普通高中学生只能解答物理学中的个别简单特殊现象,而物理规律都具有一定的普遍性和一般性,跨越两者之间的“鸿沟”需要一座桥梁,这座桥梁的架设最终是通过大学的进一步学习而完成的。但作为参加物理竞赛的部分学生,我们也可做适当的尝试,将简单的高等数学应用于高中物理的部分内容的学习,起到化繁为易,揭示本质。本文就是我在这方面的一种尝试,使学生形成一种意识,利用数学手段可以把高中学习的物理规律由特殊性向一般性拓展,从而在中学和大学物理之间找到联系点,为大学和国家输送创造性、发展性的人才奠定基础。

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