• 一道数学竞赛题的简证

     

      题目 (2008年全国高中数学联赛江西省预赛题)AD是直角三角形ABC斜边BC上的高(AB  此题主要考查三角形五心中的内心和旁心之间的关系,标答提供的解答如下:
    中国论文网 /9/view-9669576.htm
      证明:如图1,连DI1、DI2、BI1、AI2、I1F,由∠EAF=90°,则圆心O在EF上,设直径EF交AD于O′,并简记△ABC的三内角为A、B、C,由∠I1BD=B2=12∠DAC=∠I2AD,∠I1DB=45°=∠I2DA,知△DBI1∽△DAI2,得DI1DI2=DBDA,又∠I1DI2=90°=∠BDA,故△I1DI2∽△BDA,∴∠DI1I2=B.∠AI1D=90°+B2,注意到∠AI1D=∠AI1F+∠FI1I2+∠DI1I2,∠AI1F=∠AEF,∠FI1I2=∠FAI2=B2,所以∠AEF=90°-B=C=∠DAB,因此O′E=O′A,同理得O′F=O′A,故O′与O重合,即圆心O在AD上,而∠EOD=∠OEA+∠OAE=2∠OAE=2C,∠EOI1=2∠EAI1=∠BAD=C,所以OI1平分∠DOM;同时得OI2平分∠DOF,即I1是△ODM的内心,I2是△ODM的旁心.
      标准答案主要是用同一法通过证明两对三角形相似以及内外心的性质而得以证明,但考生对同一法不是很熟,学生往往难以想到,下面提供一种学生易于想到而又简洁的证法.
      证法二:如图2,连DI1、DI2,∵∠EAF=90°,则圆心O在EF上,连OI1、OD、OI2,∵I1为△ABD的内心,I2为△ADC的内心,
      ∴∠I1AI2=45°,
      ∴∠I1OI2=90°.而∠I1DI2=90°,∴点O、I1、D、I2四点共圆.
      ∴∠OI1I2=∠ODI2.在△OI1I2中,OI1=OI2,∴∠OI1I2=∠OI2I1=45°,∴∠ODI2=45°.而∠ADI2=45°,∴OD、AD共线.∴圆心O为EF与AD的交点,设△AI1I2的外接圆交AD于G,∵I1为EG的中点,∴OI1平分∠MOD,∴I1是△ODM的内心.∵I2为FG的中点,∴OI2平分∠DOF,∴I2是△ODM的旁心.

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