• 透析枚举法在竞赛中的运用

     

      将符合条件的对象一一列举出来,从而求得问题的结果,这种方法称为枚举法.
    中国论文网 /9/view-9870652.htm
      枚举法又叫穷举法或者列举法. 枚举与分类常常联系在一起,为了枚举,常常要由“分类考查”到“作出结论”. 枚举与一些统计计数问题的求解关系密切,一些计数结果就是枚举出来的. 枚举与最优也有关系,最优的选择有时可从枚举出的情形中获得.
      
      ■枚举与分类
      例1 若整数n不是5的倍数,则n2也不是5的倍数.
      解 不是5的倍数的整数按余数可以分为四类:5k+1,5k+2,5k+3,5k+4(k为整数). 分类考查:
      (1)当n=5k+1时,n2=5(5k2+2k)+1不是5的倍数;
      (2)当n=5k+2时,n2=5(5k2+4k)+4不是5的倍数;
      (3)当n=5k+3时,n2=5(5k2+6k+1)+4不是5的倍数;
      (4)当n=5k+4时,n2=5(5k2+8k+3)+1不是5的倍数.
      综上所述,若整数n不是5的倍数,则n2也不是5的倍数.
      例2 (2003年北京竞赛题)13位运动员,他们的运动服号码分别是1~13号. 问:这13名运动员能否站成一个圆圈,使得任意相邻两名运动员的服装号码数之差的绝对值都不小于3且不大于5?如果能,试举一例;如果不能,请说明理由.
      解 不能办到. 理由如下:假设能够排成一个圆圈,使得服装号码满足题设要求. 我们将号码数分为A、B两组:A={1,2,3,11,12,13},B={4,5,6,7,8,9,10}. 显然,A组中的任意两个数的差要么小于3,要么大于5,所以,在排成的圆圈中,A组中的任意两个数都不能相邻. 也就是说,A组中的任意两个数之间至少都要插放一个B组中的数. 但A组中有6个间隔,B组中有7个数,所以,排好后有且只有一个间隔插放了B组中的两个数.
      我们将B组中每个数能与A组中的数之差的绝对值不小于3且不大于5的配成可相邻放置的一对,则有(4,1);(5,1),(5,2);(6,1),(6,2),(6,3),(6,11);(7,2),(7,3),(7,11),(7,12);(8,3),(8,11),(8,12),(8,13);(9,12),(9,13);(10,13).
      可见,B组中的数5,6,7,8,9都能与A组中的至少两个不同的数相邻放置,而4只与1配对,10只与13配对. 因此,排成圆圈后,4和10都不能单独插在A组中的两个不同数之间,即4和10只能作为相邻的两个数插在A组中的两个不同数之间,也就是4与10相邻. 此时10-4=6>5,与题设条件矛盾. 因此,题设要求的排法不能办到.
      例3(2003年上海竞赛题)某学生为了描点作出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,取自变量的7个值:x1200-4z.
      解得40

    上一篇:2009年全国初中数学联合竞赛试题

    下一篇:2009年全国初中数学竞赛湖北荆州预赛试卷


    相关文章: