• 透析设想法在竞赛中的运用

     

      设想就是对同一个问题从不同的角度揣摩其来龙去脉,推测其发展变化的趋势和可能,来构思各种不同的处理方案.
    中国论文网 /9/view-9870552.htm
      在数学解题中,仔细分析了题目条件和结论后,为了拟订初步的解题计划,常常作一些假定:假定题目的结论具有某种性质或形式;假定题目可以化成某种特定类型;假定某种解题方法可以应用到本题中;假定题设条件中还可以发掘出某种我们希望有的隐含条件等等. 借助于假定的参与,形成新构思,实施之后使问题获解,且过程简捷优美,推演得出的假定确实存在,这样的解题方法,我们称之为设想法. 在数学解题中,正确地运用设想可以培养敏锐的观察力和丰富的想象力. 通过这种方法,可以逐步找出正确的解题途径.
      
      一、目标认可设想
      这种设想,就是承认题设结果(有时用符号表示)或预先作出某种假定,若由此推导出的结果与实际情况或规律、公理、定理等相符,则可确认;若由此推导出的结果荒谬,则可排除或取其相反的结论. “设想问题已解”用于“要寻求的问题”,就是设想未知已经求出,以字母表示,视为“已知”,与已知平等看待,一起参与运算.“设想问题已解决”用于“要证明的问题”,就是设想结论已经成立,或设想原命题“已证”,以此为“条件”,与已知条件平等看待,一起参与推导,寻找关键信息.
      例1(2002年湖北黄冈竞赛题)若x、y、z是正实数,且满足xyz=1,则代数式(x+1)(y+1)(z+1)的最小值是( )
      A. 64 B. 8
      C. 8 D.
      解选B. 理由:
      设M=(x+1)(y+1)(z+1),①
      当=时,等号成立.
      所以x=1.
      因此M2≥4×4×4=64,最小值为64. 因此x=y=z=1,M取得最小值为8.
      例2 (2004年四川竞赛题)一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区. 他们出发后以每天17 km的速度前进,沿河岸向上游行进若干天后到达目的地,然后在生态区考察了若干天,完成任务后每天以25 km的速度返回. 在出发后的第60天,考察队行进了24 km后回到出发点. 试问:科学考察队在生态区考察了多少天?
      解设考察队到生态区用了x天,返回用了y天,考察用了z天,则
      x+y+z=60,且17x-25y=-1或25y-17x=1. ①
      (这里x、y是正整数)
      先求出式①的一组特殊解(x0,y0),(这里的x0、y0可以是负整数). 用辗转相除法有25=1×17+8,17=2×8+1. 故1=17-2×8=17-2(25-7)=3×17-2×25.
      与式①的左端比较可知,x0=-3,y0=-2. 再求出式①的符合题意的解.
      易知式①的一切整数解可表示为x=-3+25t,y=-2+17t.
      则x+y=42t-5,t为整数.
      按题意0β,故A1在线段AD内,B1在线段BD内. 因此AD>A1D,BD>B1D. 又因为BD=AE,A1E1=B1D1,所以DA+AE>D1A1+A1E1. 这与AD+AE=A1D1+A1E1矛盾. 故α≤β. 同理α≥β.
      因此,α=β,此时△ABC≌△A1B1C1.
      
      二、问题特定设想
      在求解某些数学问题时,对问题作特定的设想:考虑其特殊性、一般性、存在性、唯一性等等,作出某种设想之后,再进行推演.
      例4(2001年全国初中联赛题)已知在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=15°,BC=1. 则AC的边长为()
      A. 2+ B. 2-
      C. 0.3 D. -
      解选B. 理由:如图3作∠DAB=15°交BC于D,则AD=BD,∠ADC=30°.
      [A][B][D][C][30°][15°]
      图3
      设AC=x,则CD=x,AD=2x.
      于是,(2+)x=1,解得x=2-.
      例5(2002年全国初中联赛题)设N=23x+92y为完全平方数,且N不超过2 392. 则满足上述条件的一切正整数对(x,y)共有对.
      解填27. 理由:因N=23x+92y=23(x+4y),且23为素数,N为不超过2 392的完全平方数,则x+4y=23m2(m为正整数)且
      N=232m2≤2392,
      故m2≤=0,则有(2n+8+m)(2n+8-m)=55. 因为55=1×55=(-1)×(-55)=(-5)×(-11),
      分别解得n1=10,n2=0,n3=-18,n4=-8.
      所以整数n的值为-18,-8,0,10.
      例8(1999年全国初中联赛题)某班参加一次智力竞赛,共a、b、c三题.每题或者得满分或者得0分,其中a题满分20分,题b题c满分均为25分. 竞赛结果,每个学生至少答对了一题,三题全答对的有1人,答对其中两道题的有15人. 答对题a的人数与答对题b的人数之和为29;答对题a的人数与答对题c的人数之和为25;答对题b的人数与答对题c的人数之和为20. 问这个班的平均成绩是多少?
      解设xa、xb、xc分别表示题a、题b、题c的人数,则有
      则xa+xb+xc=37. 解得xa=17,xb=12,xc=8.
      答对1题的人数为37-1×3-2×15=4
      全班人数为1+4+15=20.
      故平均成绩为=42.

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