• 妙用构造法 巧解竞赛题

     

      直接解决某一数学问题有困难时,我们可以通过仔细观察、类比、联想,从而构造出与此相关的或有某种对应关系的另一数学问题(方程、不等式、几何图形、函数、反例……). 利用所构造的数学问题的性质使原数学问题得以解决的方法称为构造法. 构造法在中考与数学竞赛中有着广泛的应用.
    中国论文网 /9/view-9870498.htm
      
      一、构造一元二次方程
      根据题目特征,发现与一元二次方程有关时,我们可以构造一元二次方程,利用判别式、韦达定理及形如(a-1)(b-1)等特征的知识求解问题.
      例1已知(b-c)2=(a-b)(c-a)且a≠0,则=_____.
      解析:由已知可得(b-c)2-4(a-b)(c-a)=0,
      (1)当a-b=0时,b-c=0,a=b=c,
      所以=2.
      (2)当a-b≠0时,由(b-c)2-4(a-b)(c-a)=0可知关于x的方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0有两个相等的实数根.
      又(a-b)+(b-c)+(c-a)=0,
      则x1=x2=1,x1x2=1,
      所以=1,即=2,
      综合(1)(2)可知=2.
      
      二、构造不等式
      我们知道:对于任意的实数a,b都有(a-b)2≥0,又(a+b)2-4ab=(a-b)2,从而(a+b)2≥4ab. 当问题中出现(或隐藏)两数的和与积时,用之可使问题化难为易,得到求解.
      例2设a,b,c为互不相等的实数且满足关系式:
      b2+c2=2a2+16a+14, ①
      bc=a2-4a-5,②
      求a的取值范围.
      解析:①+2×②有(b+c)2=4a2+8a+4,由(b+c)2≥4bc得4a2+8a+4≥4(a2-4a-5),解之a≥-1,但当a=-1时,b2+c2=bc=0,从而b=c=0,这与已知相矛盾,舍去. 故a>-1.
      例3已知a,b,c满足方程组a+b=8,
      ab-c2
      +8c=48,试求方程bx2+cx-a=0的根.
      解析:由已知条件有
      a+b=8,
      ab-c2
      +8c=48,
      所以82≥4(c2-8c+48),
      即(c-4)2≤0,
      所以c=4,
      从而a+b=8,
      ab=16,解之a=4,
      b=4.
      所解方程可化为x2+x-1=0,
      解之x1=,
      x2=-.
      三、构造几何图形
      在遇到用常规、定向思考的解题途径难以解决问题时,可以根据题设条件构造一个几何图形,然后通过数形结合,以形辅数的方法,找到一个简捷的解题途径,从而达到事半功倍之效.
      1. 构造直角三角形
      例4化简.
      解析:注意到()2+()2=(2)2,可构造如图1所示的Rt△ABC,使∠C=90°,a=,b=,c=2.
      [b][O][r][C][a][B][c][A]
      图1
      又S△ABC=ab=,
      故原式=.
      进一步,作△ABC的内切圆,其半径r=,S△ABC=(a+b+c).
      所以,原式==2r=+-2.
      2. 构造梯形
      例5设m,n,p均为正数,且m2+n2-p2=0,求S=的取值范围.
      解析:注意到m2+n2-p2=0,可构造如图2所示的直角梯形ABCD或矩形ABCD(当m=n时),使△AED是直角边为p的等腰直角三角形,∠AED=90°,AB=EC=m,BE=CD=n.
      [D][C][E][n][B][n][m][p][p][m][A]
      图2
      一方面由m+n>p,得S<1,另一方面由BC≤AD,即m+n≤p,得S≥,所以≤S

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