• 一道数学竞赛试题的多种证明

     

      【摘要】不等式的证明是中学数学学习的重点,也是难点,巧妙的放缩、灵活的构造,在不等式的证明中有着不容忽视的作用。本文立足于一道全苏数学竞赛试题而给出了权方和不等式、放缩、构造向量、构造二次函数、构造柯西不等式等多种证明方法,希望能给中学学生及教师一点参考。本文最后还给出了一些练习供读者类比证明。
    中国论文网 /9/view-9734990.htm
      【关键词】构造;不等式;放缩;向量;函数
      
      在文献[1]中有第24届全苏数学竞赛试题为:已知a1,a2,....,an∈R+,且a1+a2+…+an=1,试证明a21a1+a2+a22a2+a3+…+a2nan+a112.其作者利用权方和不等式给出了证法一。除此之外,本文还给出了4种新的证明方法如下
      证法一权方和不等式法
      证先给出权方和不等式如下:
      证法二放缩法
      分析对于任意的正数a,b,以下两式恒成立
      基于上述分析,我们给出如下证明
      证法三构造向量法[3]
      证法四构造二次函数法
      证构造二次函数
      证法五构造柯西不等式法
      证先给出柯西不等式[4]如下:
      练习:
      1.(1984年全国高中数学联赛试题)已知a1,a2,....,an∈R+,求证:a21a2+a22a3+…+a2na1a1+a2+…+an
      2.(1984年列宁格勒数学竞赛) 已知a,b,c∈R+,a+b+c=1,求证:a3b+b3c+c3aabc
      3.(第31届IMO预选题)设a,b,c,d∈R+,ab+bc+cd+da=1,求证:
      a3b+c+d+b3c+d+a+c3d+a+b+d3a+b+c13
      
      参考文献
      [1]司志本,权方和不等式在求解竞赛题中的应用,数学教学研究,2010年2月
      [1]杨克昌,权方和不等式,Journal of Loudi Teachers College,1985年4月
      [3]刘华,浅谈向量的运用,科技信息,2009年3期
      [4]徐丽君,柯西不等式的证明与推广应用,科技信息,2008年11

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